Analysis Beispiele

$4 x + \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $4 x + \frac{1}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = 4 x + \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 4 x + \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 7.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int x^{- 2} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x^{- 1} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$2 x^{2} - x^{- 1} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 4 x + \frac{1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{2} - x^{- 1} + C$