Analysis Beispiele

$y = \sqrt[3]{- 9 x^{2} - 4 x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{- 9 x^{2} - 4 x}$ als ${(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = - 9 x^{2} - 4 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 9 x^{2} - 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- 9 x^{2} - 4 x$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Schritt 4.6

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(- 9 x^{2} - 4 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(- 9 x^{2} - 4 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Schritt 4.6.3

Bringe ${(- 9 x^{2} - 4 x)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Schritt 4.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 9 x^{2} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Schritt 4.8

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Schritt 4.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Schritt 4.11

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x - 4 \cdot 1)$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x - 4)$

Schritt 4.14

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.14.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x - 4)$ um.

$(- 18 x - 4) \frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.14.2

Mutltipliziere $- 18 x - 4$ mit $\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 18 x - 4}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.14.3

Faktorisiere $2$ aus $- 18 x - 4$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.14.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18 x$ heraus.

$\frac{2 (- 9 x) - 4}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.14.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 (- 9 x) + 2 (- 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.14.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 9 x) + 2 (- 2)$ heraus.

$\frac{2 (- 9 x - 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.14.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 x$ heraus.

$\frac{2 (- (9 x) - 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.14.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{2 (- (9 x) - 1 (2))}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.14.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{2 (- (9 x + 2))}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.14.7

Schreibe $- (9 x + 2)$ als $- 1 (9 x + 2)$ um.

$\frac{2 (- 1 (9 x + 2))}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.14.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (9 x + 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{2 (9 x + 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (9 x + 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$