Analysis Beispiele

$\int_{0}^{9} (\sqrt{x} - \frac{1}{3} x) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} - \frac{1}{3} x d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

Schritt 5

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - \frac{1}{3} \int_{0}^{9} x d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - \frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ bei $9$ und $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}$

Schritt 7.2

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $9$ und $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 7.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.7.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.8

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.9

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.10.2

Forme den Ausdruck um.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.12

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$18 + 0 (\frac{2}{3}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.13

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{3}$ .

$18 + 0 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.14

Addiere $18$ und $0$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.15

Potenziere $9$ mit $2$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.16

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $81$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 7.3.17

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Schritt 7.3.18

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Schritt 7.3.19

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0)$

Schritt 7.3.20

Addiere $\frac{81}{2}$ und $0$ .

$18 - \frac{1}{3} \cdot \frac{81}{2}$

Schritt 7.3.21

Mutltipliziere $\frac{81}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$18 - \frac{81}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.3.22

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$18 - \frac{81}{6}$

Schritt 7.3.23

Kürze den gemeinsamen Teiler von $81$ und $6$ .

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Schritt 7.3.23.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$18 - \frac{3 (27)}{6}$

Schritt 7.3.23.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.23.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$18 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Schritt 7.3.23.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Schritt 7.3.23.2.3

Forme den Ausdruck um.

$18 - \frac{27}{2}$

Schritt 7.3.24

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

Schritt 7.3.25

Kombiniere $18$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2}$

Schritt 7.3.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{18 \cdot 2 - 27}{2}$

Schritt 7.3.27

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.27.1

Mutltipliziere $18$ mit $2$ .

$\frac{36 - 27}{2}$

Schritt 7.3.27.2

Subtrahiere $27$ von $36$ .

$\frac{9}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{9}{2}$

Dezimalform:

$4.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$4 \frac{1}{2}$

Schritt 9