Analysis Beispiele

$e^{- 2 x} + 2 x$

Schritt 1

Schreibe $e^{- 2 x} + 2 x$ als Funktion.

$f (x) = e^{- 2 x} + 2 x$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int e^{- 2 x} + 2 x d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int e^{- 2 x} d x + \int 2 x d x$

Schritt 5

Sei $u = - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u + \int 2 x d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int 2 x d x$

Schritt 6.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 x d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 x d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 2 x d x$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 x d x$

Schritt 10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int x d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} e^{u} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} e^{u} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 12.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} e^{u} + 1 x^{2} + C$

Schritt 12.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u} + x^{2} + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + x^{2} + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = e^{- 2 x} + 2 x$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + x^{2} + C$