Analysis Beispiele

$\int_{1}^{27} (\sqrt[3]{x} - \frac{1}{x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - \int_{1}^{27} \frac{1}{x} d x$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Berechne $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ bei $27$ und $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

Schritt 7.1.2

Berechne $\ln (| x |)$ bei $27$ und $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3

Vereinfache.

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Schritt 7.1.3.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.4

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.5

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $81$ .

$\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $81$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{243 - 3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.10

Subtrahiere $3$ von $243$ .

$\frac{240}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $240$ und $4$ .

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Schritt 7.1.3.11.1

Faktorisiere $4$ aus $240$ heraus.

$\frac{4 \cdot 60}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.3.11.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 60}{4 (1)} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{60}{1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.11.2.4

Dividiere $60$ durch $1$ .

$60 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$60 - \ln (\frac{| 27 |}{| 1 |})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $27$ ist $27$ .

$60 - \ln (\frac{27}{| 1 |})$

Schritt 7.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$60 - \ln (\frac{27}{1})$

Schritt 7.3.3

Dividiere $27$ durch $1$ .

$60 - \ln (27)$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1

Schreibe $\ln (27)$ als $\ln (3^{3})$ um.

$60 - \ln (3^{3})$

Schritt 8.2

Zerlege $\ln (3^{3})$ durch Herausziehen von $3$ aus dem Logarithmus.

$60 - (3 \ln (3))$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$60 - 3 \ln (3)$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$60 - 3 \ln (3)$

Dezimalform:

$56.70416313 \dots$

Schritt 10