Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 7)}{(x^{4} + 6 x)}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{4}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{x \cdot 6}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{4}}$ $0$ .

$\frac{0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{0 + 7 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}$

Schritt 6.3

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0 + 7 \cdot 0}{1 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{0 + 7 \cdot 0}{1 + 6 \cdot 0}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 6 \cdot 0}$

Schritt 8.1.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{1 + 6 \cdot 0}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Schritt 8.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 8.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$