Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 25}{x (x - 5)}$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 25}{x \cdot x + x \cdot - 5}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} + x \cdot - 5}$

Schritt 1.3

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 5 x}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 5}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x}}$

Schritt 3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x}}$

Schritt 3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{- 5}{x}}$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $25$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - 25 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Schritt 5.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{1 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{1 - 5 \cdot 0}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $- 25$ mit $0$ .

$\frac{1 + 0}{1 - 5 \cdot 0}$

Schritt 7.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{1 - 5 \cdot 0}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Schritt 7.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 7.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$