Analysis Beispiele

$\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)} d x$

Schritt 4

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{5}} d u$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $u^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{5 \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\int u^{- 5} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 5}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$ als $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$ um.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{4}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{u^{4} \cdot 4} + C$

Schritt 7.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u^{4}$ .

$- \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{4 \sin^{4} (x)} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Multipliziere mit $1$ .

$- \frac{1}{4 (\sin^{4} (x) \cdot 1)} + C$

Schritt 9.2

Separiere Brüche.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\sin^{4} (x)}) + C$

Schritt 9.3

Wandle von $\frac{1}{\sin^{4} (x)}$ nach $\csc^{4} (x)$ um.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \csc^{4} (x)) + C$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- (\frac{1}{4} \csc^{4} (x)) + C$

Schritt 9.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\csc^{4} (x)$ .

$- \frac{\csc^{4} (x)}{4} + C$

Schritt 9.6

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$