Analysis Beispiele

$\ln (\frac{2}{x^{2}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{2}{x^{2}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{2}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{2}{x^{2}}$ zu dividieren.

$1 \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 5.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 5.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 5.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$x^{2} (- 2 x^{- 3})$

Schritt 7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1

Bewege $x^{- 3}$ .

$x^{- 3} x^{2} \cdot - 2$

Schritt 7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{- 3 + 2} \cdot - 2$

Schritt 7.3

Addiere $- 3$ und $2$ .

$x^{- 1} \cdot - 2$

Schritt 8

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{- 1}$ .

$- 2 \cdot x^{- 1}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x}$

Schritt 9.2

Vereine die Terme

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 2}{x}$

Schritt 9.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x}$