Analysis Beispiele

$\frac{e^{- x}}{- 3 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{3 x}]$

Schritt 1.2

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{e^{- x}}{3 x}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{- x}$ und $g (x) = x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 4.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2}}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $\frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2} \cdot 3}$

Schritt 4.5.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{3 \cdot x^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{- x e^{- x} - e^{- x}}{3 x^{2}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- x e^{- x} - e^{- x}$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- x e^{- x}$ heraus.

$- \frac{e^{- x} (- x) - e^{- x}}{3 x^{2}}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- e^{- x}$ heraus.

$- \frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 1}{3 x^{2}}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 1$ heraus.

$- \frac{e^{- x} (- x - 1)}{3 x^{2}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- \frac{e^{- x} (- (x) - 1)}{3 x^{2}}$

Schritt 5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- \frac{e^{- x} (- (x) - 1 (1))}{3 x^{2}}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$- \frac{e^{- x} (- (x + 1))}{3 x^{2}}$

Schritt 5.6

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$- \frac{e^{- x} (- 1 (x + 1))}{3 x^{2}}$

Schritt 5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $\frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$