Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{2 x^{2}}}{\cos (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 x^{2}}}{\cos (x)}]$ als $\frac{d}{d x} [\frac{x \sqrt{2}}{\cos (x)}]$ um.

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Schritt 1.1

Stelle $2$ und $x^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{x^{2} \cdot 2}}{\cos (x)}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x \sqrt{2}}{\cos (x)}]$

Schritt 2

Da $\sqrt{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x \sqrt{2}}{\cos (x)}$ nach $x$ gleich $\sqrt{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{\cos (x)}]$ .

$\sqrt{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{\cos (x)}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$\sqrt{2} \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sqrt{2} \frac{\cos (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sqrt{2} \frac{\cos (x) - x \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\sqrt{2} \frac{\cos (x) - x (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{2} \frac{\cos (x) + 1 x \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\sqrt{2} \frac{\cos (x) + x \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 6.3

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{\cos (x) + x \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sqrt{2} (\cos (x) + x \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} (x \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x \sqrt{2} \sin (x) + \sqrt{2} \cos (x)}{\cos^{2} (x)}$