Analysis Beispiele

$y (x) = e^{x^{3} - 8}$ , $x = 2$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{3} - 8$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} - 8$ .

$e^{x^{3} - 8} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$e^{x^{3} - 8} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Schritt 1.2.3

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + 0)$

Schritt 1.2.4

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$ um.

$3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$

Schritt 1.3.2

Stelle die Faktoren in $3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$ um.

$3 x^{2} e^{x^{3} - 8}$

Schritt 2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$y' (2) = 3 {(2)}^{2} e^{{(2)}^{3} - 8}$

Schritt 3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y' (2) = 3 \cdot (4 e^{{(2)}^{3} - 8})$

Schritt 4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$y' (2) = 12 e^{{(2)}^{3} - 8}$

Schritt 5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y' (2) = 12 e^{8 - 8}$

Schritt 6

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$y' (2) = 12 e^{0}$

Schritt 7

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y' (2) = 12 \cdot 1$

Schritt 8

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$y' (2) = 12$