Analysis Beispiele

$y = arcsec (\sqrt{3 x^{3}})$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [arcsec (\sqrt{3 x^{3}})]$ als $\frac{d}{d x} [arcsec (x \sqrt{3 x})]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe $3 x^{3}$ als $x^{2} \cdot (3 x)$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus.

$\frac{d}{d x} [arcsec (\sqrt{3 (x^{2} x)})]$

Schritt 1.1.2

Stelle $3$ und $x^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [arcsec (\sqrt{x^{2} \cdot 3 x})]$

Schritt 1.1.3

Füge Klammern hinzu.

$\frac{d}{d x} [arcsec (\sqrt{x^{2} \cdot (3 x)})]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [arcsec (x \sqrt{3 x})]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x}$ als ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [arcsec (x {(3 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 3

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [arcsec (x {(3 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 4

Wende die Produktregel auf $3 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [arcsec (x (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))]$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{\frac{1}{2}}))]$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{1 + \frac{1}{2}})]$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})]$

Schritt 7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 + 1}{2}})]$

Schritt 7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = arcsec (x)$ und $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 8.2

Die Ableitung von $arcsec (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u$ durch $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Da $3^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 9.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $3^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 9.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 13.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 14

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 15

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$ mit $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1} \cdot 2}$

Schritt 16

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 16.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot (x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1})}$

Schritt 16.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1} x^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 17

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 17.1

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 17.1.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Schritt 17.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Schritt 17.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2 x^{\frac{- 1 + 3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Schritt 17.1.4

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{2}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Schritt 17.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{3}{2 x^{1} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Schritt 17.2

Vereinfache $2 x^{1} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Wende die Produktregel auf $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ an.

$\frac{3}{2 x \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Schritt 18.2

Vereine die Terme

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Schritt 18.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 18.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Schritt 18.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Schritt 18.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{1} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Schritt 18.2.2

Berechne den Exponenten.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Schritt 18.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 18.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} - 1}}$

Schritt 18.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} - 1}}$

Schritt 18.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$

Schritt 18.3

Mutltipliziere $\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$ mit $\frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}} \cdot \frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$

Schritt 18.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 18.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$ mit $\frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1} \sqrt{3 x^{3} - 1}}$

Schritt 18.4.2

Bewege $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (\sqrt{3 x^{3} - 1} \sqrt{3 x^{3} - 1})}$

Schritt 18.4.3

Potenziere $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x ({\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1} \sqrt{3 x^{3} - 1})}$

Schritt 18.4.4

Potenziere $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x ({\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1} {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1})}$

Schritt 18.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1 + 1}}$

Schritt 18.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{2}}$

Schritt 18.4.7

Schreibe ${\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{2}$ als $3 x^{3} - 1$ um.

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Schritt 18.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ als ${(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {({(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 18.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 18.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 18.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 18.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{1}}$

Schritt 18.4.7.5

Vereinfache.

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (3 x^{3} - 1)}$