Analysis Beispiele

$x + \frac{27}{2 x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{27}{2 x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2 x^{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2 x^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{27}{2 x^{2}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $\frac{27}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{27}{2 x^{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{27}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$1 + \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$1 + \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$1 + \frac{27}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 + \frac{27}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$1 + \frac{27}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 + \frac{27}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \frac{27}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$1 + \frac{27}{2} (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 + \frac{27}{2} (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 + \frac{27}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{27}{2} (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$1 + \frac{27}{2} (- 2 x^{- 3})$

Schritt 2.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{27}{2}$ .

$1 + \frac{- 2 \cdot 27}{2} x^{- 3}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $27$ .

$1 + \frac{- 54}{2} x^{- 3}$

Schritt 2.12

Kombiniere $\frac{- 54}{2}$ und $x^{- 3}$ .

$1 + \frac{- 54 x^{- 3}}{2}$

Schritt 2.13

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 54}{2 x^{3}}$

Schritt 2.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 54$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.14.1

Faktorisiere $2$ aus $- 54$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot - 27}{2 x^{3}}$

Schritt 2.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.14.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot - 27}{2 (x^{3})}$

Schritt 2.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{2 \cdot - 27}{2 x^{3}}$

Schritt 2.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- 27}{x^{3}}$

Schritt 2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{27}{x^{3}}$

Schritt 3

Stelle die Terme um.

$- \frac{27}{x^{3}} + 1$