Analysis Beispiele

$a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x = 12$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x) = \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [a x^{5}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x^{5}$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$a (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Schritt 2.2.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $a$ .

$5 a x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 a x^{4} + x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Schritt 2.3.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{2} x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2} x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2} x]$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y^{2}$ und $g (x) = x$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.4.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 2.4.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 2.4.4.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 2.4.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 y y'))$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} + x (2 y y'))$

Schritt 2.4.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} + 2 x y y')$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - y^{2} - (2 x y y')$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - y^{2} - 2 x y y'$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$- y^{2} + 5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y'$

Schritt 3

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- y^{2} + 5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = y^{2}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $5 x^{4} a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $3 x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} y' - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x y'$ aus $x^{3} y' - 2 x y y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x y'$ aus $x^{3} y'$ heraus.

$x y' x^{2} - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x y'$ aus $- 2 x y y'$ heraus.

$x y' x^{2} + x y' (- 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x y'$ aus $x y' x^{2} + x y' (- 2 y)$ heraus.

$x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$ durch $x (x^{2} - 2 y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$ durch $x (x^{2} - 2 y)$ .

$\frac{x y' (x^{2} - 2 y)}{x (x^{2} - 2 y)} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' (x^{2} - 2 y)}{x (x^{2} - 2 y)} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 2 y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x^{4} a$ heraus.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{x (- 5 x^{3} a)}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{x (- 5 x^{3} a)}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{(5) x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{x (- 3 x y)}{x (x^{2} - 2 y)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{x (- 3 x y)}{x (x^{2} - 2 y)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.3.2

Um $- \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (x^{2} - 2 y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a x}{(x^{2} - 2 y) x} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(x^{2} - 2 y) x$ um.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a x}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{3} a x}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.3.5

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.5.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.3.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 5.3.3.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.3.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{1 + 3} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.3.5.3

Addiere $1$ und $3$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.3.6

Um $- \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 5.3.3.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (x^{2} - 2 y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.7.1

Mutltipliziere $\frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y x}{(x^{2} - 2 y) x}$

Schritt 5.3.3.7.2

Stelle die Faktoren von $(x^{2} - 2 y) x$ um.

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y x}{x (x^{2} - 2 y)}$

Schritt 5.3.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x y x}{x (x^{2} - 2 y)}$

Schritt 5.3.3.9

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.9.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 (x \cdot x) y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Schritt 5.3.3.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$