Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x}{x^{2} + 2 x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.6

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0^{2} - 10 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.8.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.8.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.8.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.8.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.8.1.5

Mutltipliziere $- 10$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.8.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.8.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 2 \cdot 0}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Schritt 1.1.3.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 1.1.3.5.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.5.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x}{x^{2} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Schritt 1.3.5.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.5.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + 2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + 2}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 x^{2} + 10 x - 10$ und $2 x + 2$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2}) + 10 x - 10}{2 x + 2}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2}) + 2 (5 x) - 10}{2 x + 2}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{2}) + 2 (5 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x) - 10}{2 x + 2}$

Schritt 1.4.4

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x) + 2 \cdot - 5}{2 x + 2}$

Schritt 1.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{2} + 5 x) + 2 (- 5)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 x + 2}$

Schritt 1.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x) + 2}$

Schritt 1.4.6.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x) + 2 (1)}$

Schritt 1.4.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (1)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x + 1)}$

Schritt 1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x + 1)}$

Schritt 1.4.6.5

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 5 x - 5}{x + 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 5 x - 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 2.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 2.8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{0 + 0 - 5}{0 + 1}$

Schritt 4.1.5

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0 - 5}{0 + 1}$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$\frac{- 5}{0 + 1}$

Schritt 4.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{- 5}{1}$

Schritt 4.3

Dividiere $- 5$ durch $1$ .

$- 5$