Analysis Beispiele

$y = x^{2} + x + 2$

Schritt 1

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{1}{2 (1)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{1}{2 (1)}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = {(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- \frac{1}{2}) = {(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2} + 2$

Schritt 3.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2} + 2$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} + 2$

Schritt 3.2.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2} + 2$

Schritt 3.2.2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2$

Schritt 3.2.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + 2$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1}$

Schritt 3.2.3.4

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 + 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 + 8}{4}$

Schritt 3.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 8}{4}$

Schritt 3.2.5.3

Addiere $- 1$ und $8$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{7}{4}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(- \frac{1}{2}, \frac{7}{4})$

Schritt 5