Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{x^{3} + 1}$

Schritt 1

Schreibe $x^{3}$ als ${(x^{3})}^{1}$ um.

$\int \frac{x^{2}}{{(x^{3})}^{1} + 1} d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = x^{3}$ . Dann ist $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache.

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1} + 1}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

Schritt 3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u_{1} + 1$ .

$\int \frac{1}{3 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

Schritt 5

Sei $u_{2} = u_{1} + 1$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{2} = u_{1} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{1} + 1$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 5.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 8

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 8.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

Schritt 8.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| x^{3} + 1 |) + C$