Analysis Beispiele

$\int 4 x e^{2 x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = 4 x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$4 x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$4 x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$x \frac{4 e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Schritt 2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{4 e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x (4 e^{2 x})}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $x (4 e^{2 x})$ heraus.

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Schritt 2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 (1)} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 \cdot 1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Schritt 2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (2 e^{2 x})}{1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Schritt 2.4.2.4

Dividiere $x (2 e^{2 x})$ durch $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2} \cdot 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2} \cdot 4$ aus dem Integral.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{4}{2} \int e^{2 x} d x)$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{2 x} d x)$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{2 x} d x)$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{2 x} d x)$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2}{1} \int e^{2 x} d x)$

Schritt 4.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - (2 \int e^{2 x} d x)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{2 x} d x$

Schritt 5

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x (2 e^{2 x}) - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

Schritt 8.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - \int e^{u} d u$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$

Schritt 10

Schreibe $x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$ als $2 x e^{2 x} - e^{u} + C$ um.

$2 x e^{2 x} - e^{u} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$