Analysis Beispiele

$y = 2 \sqrt{6 x^{2} - 8 x + 5}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 x^{2} - 8 x + 5}$ als ${(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = 2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 6 x^{2} - 8 x + 5$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x^{2} - 8 x + 5$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x^{2} - 8 x + 5$ .

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Schritt 4.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Schritt 4.7.3

Bringe ${(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Schritt 4.7.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ und $2$ .

$\frac{2}{2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5]$

Schritt 4.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5]$

Schritt 4.7.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5]$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} - 8 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 4.9

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 4.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 4.12

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 4.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 4.15

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8 + 0)$

Schritt 4.16

Addiere $12 x - 8$ und $0$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8)$

Schritt 4.17

Vereinfache.

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Schritt 4.17.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8)$ um.

$(12 x - 8) \frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.17.2

Mutltipliziere $12 x - 8$ mit $\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{12 x - 8}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.17.3

Faktorisiere $4$ aus $12 x - 8$ heraus.

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Schritt 4.17.3.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x$ heraus.

$\frac{4 (3 x) - 8}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.17.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{4 (3 x) + 4 (- 2)}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.17.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (3 x) + 4 (- 2)$ heraus.

$\frac{4 (3 x - 2)}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{4 (3 x - 2)}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (3 x - 2)}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$