Analysis Beispiele

$y = x y^{2} + 4 x - y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x y^{2} + 4 x - y)$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{2} + 4 x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 - \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.4.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x y y' + y^{2} + 4 - y'$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' = y'$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $y'$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' - y' = 0$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $y'$ von $- y'$ .

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - 2 y' = 0$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y y' + 4 - 2 y' = - y^{2}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y y' - 2 y' = - y^{2} - 4$

Schritt 5.4

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 x y y' - 2 y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 x y y'$ heraus.

$2 y' (x y) - 2 y' = - y^{2} - 4$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 2 y'$ heraus.

$2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1 = - y^{2} - 4$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1$ heraus.

$2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ durch $2 (x y - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ durch $2 (x y - 1)$ .

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x y - 1$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Schritt 5.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 2}{x y - 1}$

Schritt 5.5.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1}$

Schritt 5.5.3.2

Um $- \frac{2}{x y - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.5.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (x y - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x y - 1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{(x y - 1) \cdot 2}$

Schritt 5.5.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(x y - 1) \cdot 2$ um.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

Schritt 5.5.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

Schritt 5.5.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$y' = \frac{- y^{2} - 4}{2 (x y - 1)}$

Schritt 5.5.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- (y^{2}) - 4}{2 (x y - 1)}$

Schritt 5.5.3.7

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y' = \frac{- (y^{2}) - 1 (4)}{2 (x y - 1)}$

Schritt 5.5.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2}) - 1 (4)$ heraus.

$y' = \frac{- (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

Schritt 5.5.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.3.9.1

Schreibe $- (y^{2} + 4)$ als $- 1 (y^{2} + 4)$ um.

$y' = \frac{- 1 (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

Schritt 5.5.3.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$