Analysis Beispiele

$y = \frac{e^{- x}}{x + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{- x}$ und $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(x + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$\frac{(x + 1) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- 1 \cdot 1) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) e^{- x} \cdot - 1 - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $(x + 1) e^{- x}$ .

$\frac{- 1 \cdot ((x + 1) e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Schreibe $- 1 (x + 1)$ als $- (x + 1)$ um.

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- x - 1 \cdot 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x e^{- x} - 1 \cdot 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- x e^{- x} - 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$\frac{- x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $e^{- x}$ von $- e^{- x}$ .

$\frac{- x e^{- x} - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- e^{- x} x - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- e^{- x} x - 2 e^{- x}$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- e^{- x} x$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- x) - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- 2 e^{- x}$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- x - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- (x) - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.7

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{e^{- x} (- (x) - 1 (2))}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.9

Schreibe $- (x + 2)$ als $- 1 (x + 2)$ um.

$\frac{e^{- x} (- 1 (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{- x} (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$