Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{4 - 3 x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 6 x}{lim_{x \to 2} 4 - 3 x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 4 - 3 x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 4 - 3 x}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 4 - 3 x}$

Schritt 5

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 4 - 3 x}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 3 x}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{4 - lim_{x \to 2} 3 x}$

Schritt 8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{4 - 3 lim_{x \to 2} x}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{4 - 3 lim_{x \to 2} x}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2}{4 - 3 lim_{x \to 2} x}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2}{4 - 3 \cdot 2}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2$ und $4 - 3 \cdot 2$ .

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Schritt 10.1.1

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2}{- 1 (- 4) - 3 \cdot 2}$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \cdot 2$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2}{- 1 (- 4) - (3 \cdot 2)}$

Schritt 10.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 4) - (3 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2}{- 1 (- 4 + 3 \cdot 2)}$

Schritt 10.1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2}{- 1 (2 \cdot 3 - 4)}$

Schritt 10.1.5

Faktorisiere $2$ aus $3 \cdot 2^{2}$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot 2) - 6 \cdot 2}{- 1 (2 \cdot 3 - 4)}$

Schritt 10.1.6

Faktorisiere $2$ aus $- 6 \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot 2) + 2 (- 3 \cdot 2)}{- 1 (2 \cdot 3 - 4)}$

Schritt 10.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 \cdot 2) + 2 (- 3 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot 2 - 3 \cdot 2)}{- 1 (2 \cdot 3 - 4)}$

Schritt 10.1.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (2 \cdot 3 - 4)$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot 2 - 3 \cdot 2)}{2 (- 1 (3 - 2))}$

Schritt 10.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 \cdot 2 - 3 \cdot 2)}{2 (- 1 (3 - 2))}$

Schritt 10.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 2 - 3 \cdot 2}{- 1 (3 - 2)}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 - 3 \cdot 2}{- 1 (3 - 2)}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{6 - 6}{- 1 (3 - 2)}$

Schritt 10.2.3

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$\frac{0}{- 1 (3 - 2)}$

Schritt 10.3

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1}$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{- 1}$

Schritt 10.5

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$0$