Analysis Beispiele

$y = 5 \sqrt[3]{- 9 x - 1}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{- 9 x - 1}$ als ${(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = 5 {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [{(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = - 9 x - 1$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 9 x - 1$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 9 x - 1$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(- 9 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{{(- 9 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Schritt 4.7.3

Bringe ${(- 9 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{1}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Schritt 4.7.4

Kombiniere $\frac{1}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ und $5$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1]$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 9 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.9

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 + 0)$

Schritt 4.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.13.1

Addiere $- 9$ und $0$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 9$

Schritt 4.13.2

Kombiniere $\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ und $- 9$ .

$\frac{5 \cdot - 9}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.13.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 9$ .

$\frac{- 45}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.13.4

Faktorisiere $3$ aus $- 45$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 15}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.14.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 15}{3 ({(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 4.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 15}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 15}{{(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15}{{(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{15}{{(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{15}{{(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$