Analysis Beispiele

$\sqrt[3]{x} (x - 4)$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt[3]{x} (x - 4)$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt[3]{x} (x - 4)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt[3]{x} (x - 4) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x - 4$ und $d v = \sqrt[3]{x}$ .

$(x - 4) (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} d x$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} d x$

Schritt 6

Da $\frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{4}$ aus dem Integral.

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3}} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{4}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Schreibe $(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$ als $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}) + C$ um.

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}) + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 3}{7 \cdot 4} + C$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7 \cdot 4} + C$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Schritt 8.2.5

Um $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} \cdot \frac{7}{7} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Schritt 8.2.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $28$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7}{4 \cdot 7} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Schritt 8.2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7}{28} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Schritt 8.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7 - 9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Schritt 8.2.8

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{21 x^{\frac{7}{3}} - 9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Schritt 8.2.9

Subtrahiere $9 x^{\frac{7}{3}}$ von $21 x^{\frac{7}{3}}$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{12 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Schritt 8.2.10

Faktorisiere $4$ aus $12 x^{\frac{7}{3}}$ heraus.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{28} + C$

Schritt 8.2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.11.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{4 (7)} + C$

Schritt 8.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{4 \cdot 7} + C$

Schritt 8.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt[3]{x} (x - 4)$ .

$F (x) =$ $- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$