Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} d x$

Schritt 1

Dividiere $x^{2} - 1$ durch $x + 1$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Schritt 1.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$

Schritt 1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$

Schritt 1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					-	$x$	-	$1$

Schritt 1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x - 1$

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	+	$1$

Schritt 1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	+	$1$
								$0$

Schritt 1.11

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$\int_{1}^{2} x - 1 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - x]_{1}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$ und $- x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{2}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2} - x$ bei $2$ und $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.2.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.2.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1)$

Schritt 5.2.2.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 5.2.2.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Schritt 5.2.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 - \frac{1 - 2}{2}$

Schritt 5.2.2.12.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$0 - \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{1}{2})$

Schritt 5.2.2.15

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$0 + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.16

Addiere $0$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$

Schritt 7