Analysis Beispiele

$\frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}} d x$

Schritt 4

Sei $u = 2 x^{2} + 3$ . Dann ist $d u = 4 x d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Es sei $u = 2 x^{2} + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$4 x$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Schritt 5.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 7.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 7.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 7.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Schreibe $\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$\frac{2}{4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} + C$