Analysis Beispiele

$\sum_{p = 2}^{8} - 9 p + p^{2}$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $p$ gleich $1$ ist.

$\sum_{p = 2}^{8} - 9 p + p^{2} = \sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2} - \sum_{p = 1}^{1} - 9 p + p^{2}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2}$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2} = - 9 \sum_{p = 1}^{8} p + \sum_{p = 1}^{8} p^{2}$

Schritt 2.2

Berechne $9 \sum_{p = 1}^{8} p$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 9) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Addiere $8$ und $1$ .

$- 9 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$- 9 (\frac{72}{2})$

Schritt 2.2.3.3

Dividiere $72$ durch $2$ .

$- 9 \cdot 36$

Schritt 2.2.3.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $36$ .

$- 324$

Schritt 2.3

Berechne $\sum_{p = 1}^{8} p^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $6$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ heraus.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

Schritt 2.3.3.2.2

Addiere $8$ und $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

Schritt 2.3.3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

Schritt 2.3.3.2.4

Addiere $16$ und $1$ .

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.3.3.1

Mutltipliziere $36$ mit $17$ .

$\frac{612}{3}$

Schritt 2.3.3.3.2

Dividiere $612$ durch $3$ .

$204$

Schritt 2.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$- 324 + 204$

Schritt 2.5

Addiere $- 324$ und $204$ .

$- 120$

Schritt 3

Berechne $\sum_{p = 1}^{1} - 9 p + p^{2}$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $p$ .

$- 9 \cdot 1 + 1^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$- 9 + 1^{2}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $1$ mit $2$ .

$- 9 + 1$

Schritt 3.2.3

Addiere $- 9$ und $1$ .

$- 8$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$- 120 + 8$

Schritt 5

Addiere $- 120$ und $8$ .

$- 112$