Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
Schritt 1.2.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 1.2.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 1.2.3
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 1.2.4
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 1.2.5
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 1.2.6
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 1.2.7
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
Schritt 1.2.7.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.2.7.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.2.8
Vereinfache die Lösung.
Schritt 1.2.8.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 1.2.8.1.1
Addiere und .
Schritt 1.2.8.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.2.8.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.8.1.4
Potenziere mit .
Schritt 1.2.8.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.8.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.3
Berechne den Grenzwert des Nenners.
Schritt 1.3.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 1.3.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 1.3.3
Bringe den Grenzwert in den Exponenten.
Schritt 1.3.4
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 1.3.5
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 1.3.6
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 1.3.7
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 1.3.8
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
Schritt 1.3.8.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.3.8.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.3.9
Vereinfache die Lösung.
Schritt 1.3.9.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 1.3.9.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.9.1.2
Addiere und .
Schritt 1.3.9.1.3
Alles, was mit potenziert wird, ist .
Schritt 1.3.9.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.9.1.5
Potenziere mit .
Schritt 1.3.9.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.9.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.9.3
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 1.3.10
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 3
Schritt 3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 3.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 3.3
Berechne .
Schritt 3.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.3.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 3.3.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 3.3.2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 3.3.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 3.3.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 3.3.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.3.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 3.3.6
Addiere und .
Schritt 3.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.4
Berechne .
Schritt 3.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.5
Stelle die Terme um.
Schritt 3.6
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 3.7
Berechne .
Schritt 3.7.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.7.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 3.7.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 3.7.2.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 3.7.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 3.7.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 3.7.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 3.7.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.7.6
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.7.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.7.8
Subtrahiere von .
Schritt 3.7.9
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 3.7.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.8
Berechne .
Schritt 3.8.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.8.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.8.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.9
Stelle die Terme um.
Schritt 4
Schritt 4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.4
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 4.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.4.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.4.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.4.4
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.4.5
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 6
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 7
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 8
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 9
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 10
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 11
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 12
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 13
Bringe den Grenzwert in den Exponenten.
Schritt 14
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 15
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 16
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 17
Schritt 17.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 17.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 17.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 17.4
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 18
Schritt 18.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 18.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 18.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 18.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 18.1.4
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 18.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 18.1.4.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 18.1.4.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 18.1.4.4
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 18.1.4.5
Forme den Ausdruck um.
Schritt 18.2
Vereinfache den Zähler.
Schritt 18.2.1
Addiere und .
Schritt 18.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 18.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.2.4
Addiere und .
Schritt 18.3
Vereinfache den Nenner.
Schritt 18.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.3.2
Addiere und .
Schritt 18.3.3
Alles, was mit potenziert wird, ist .
Schritt 18.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.3.5
Subtrahiere von .
Schritt 18.4
Dividiere durch .