Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \frac{π}{6}} 4 \cos (x) - 3 \tan (- 2 x)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{π}{6}$ annähert.

$lim_{x \to - \frac{π}{6}} 4 \cos (x) - lim_{x \to - \frac{π}{6}} 3 \tan (- 2 x)$

Schritt 2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to - \frac{π}{6}} \cos (x) - lim_{x \to - \frac{π}{6}} 3 \tan (- 2 x)$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$4 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{6}} x) - lim_{x \to - \frac{π}{6}} 3 \tan (- 2 x)$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{6}} x) - 3 lim_{x \to - \frac{π}{6}} \tan (- 2 x)$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$4 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{6}} x) - 3 \tan (lim_{x \to - \frac{π}{6}} - 2 x)$

Schritt 6

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{6}} x) - 3 \tan (- 2 lim_{x \to - \frac{π}{6}} x)$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- \frac{π}{6}$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{π}{6}$ für $x$ .

$4 \cos (- \frac{π}{6}) - 3 \tan (- 2 lim_{x \to - \frac{π}{6}} x)$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{π}{6}$ für $x$ .

$4 \cos (- \frac{π}{6}) - 3 \tan (- 2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$4 \cos (\frac{11 π}{6}) - 3 \tan (- 2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 8.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$4 \cos (\frac{π}{6}) - 3 \tan (- 2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 8.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \tan (- 2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 8.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \tan (- 2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 8.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \tan (- 2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 8.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \sqrt{3} - 3 \tan (- 2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 8.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{6}$ in den Zähler.

$2 \sqrt{3} - 3 \tan (- 2 \frac{- π}{6})$

Schritt 8.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 \sqrt{3} - 3 \tan (2 (- 1) \frac{- π}{6})$

Schritt 8.1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \sqrt{3} - 3 \tan (2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3})$

Schritt 8.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sqrt{3} - 3 \tan (2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3})$

Schritt 8.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$2 \sqrt{3} - 3 \tan (- \frac{- π}{3})$

Schritt 8.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \sqrt{3} - 3 \tan (- - \frac{π}{3})$

Schritt 8.1.7

Multipliziere $- - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 8.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 \sqrt{3} - 3 \tan (1 \frac{π}{3})$

Schritt 8.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $1$ .

$2 \sqrt{3} - 3 \tan (\frac{π}{3})$

Schritt 8.1.8

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}$

Schritt 8.2

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $2 \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \sqrt{3}$

Dezimalform:

$- 1.73205080 \dots$