Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{- 9 x^{2}}{2 - 3 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $- 9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 9 lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{x^{2}}{2 - 3 x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{3}$ annähert.

$- 9 \frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 - 3 x}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- 9 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 - 3 x}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{3}$ annähert.

$- 9 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 - lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{3}$ annähert.

$- 9 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2}}{2 - lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x}$

Schritt 6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 9 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2}}{2 - 3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{1}{3}$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{3}$ für $x$ .

$- 9 \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2 - 3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{3}$ für $x$ .

$- 9 \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2 - 3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$- 9 \frac{\frac{1^{2}}{3^{2}}}{2 - 3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 8.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 9 \frac{\frac{1}{3^{2}}}{2 - 3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 8.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- 9 \frac{\frac{1}{9}}{2 - 3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$- 9 \frac{\frac{1}{9}}{2 + 3 (- 1) \frac{1}{3}}$

Schritt 8.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 9 \frac{\frac{1}{9}}{2 + 3 \cdot - 1 \frac{1}{3}}$

Schritt 8.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 9 \frac{\frac{1}{9}}{2 - 1}$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- 9 \frac{\frac{1}{9}}{1}$

Schritt 8.3

Dividiere $\frac{1}{9}$ durch $1$ .

$- 9 (\frac{1}{9})$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$9 (- 1) \frac{1}{9}$

Schritt 8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \cdot - 1 \frac{1}{9}$

Schritt 8.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1$