Analysis Beispiele

$\frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} d x$

Schritt 4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} d x$

Schritt 5

Sei $u = 1 - x^{3}$ . Dann ist $d u = - 3 x^{2} d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 1 - x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $1 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{3}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 5.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $0$ .

$- 3 x^{2}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{3}) d u$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$9 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Schritt 6.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$9 \int - \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$9 (- \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u)$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 9 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Schritt 9

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- 9 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 9$ .

$\frac{- 9}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 10.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $3$ .

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Schritt 10.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 10.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 10.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 10.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 10.1.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$- 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 10.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 10.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 10.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- 3 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 10.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 10.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 10.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- 3 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 10.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 3 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Schreibe $- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$- 6 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{3}$ .

$- 6 {(1 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$ .

$F (x) =$ $- 6 {(1 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$