Analysis Beispiele

$\sin (4 x + 5 y^{2}) = 5 x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\sin (4 x + 5 y^{2})) = \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x + 5 y^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x + 5 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x + 5 y^{2}]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x + 5 y^{2}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x + 5 y^{2}$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 5 y^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 5 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Schritt 2.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Schritt 2.2.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 y^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y')$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y') = 5$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y') = 5$ durch $\cos (4 x + 5 y^{2})$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y') = 5$ durch $\cos (4 x + 5 y^{2})$ .

$\frac{\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y')}{\cos (4 x + 5 y^{2})} = \frac{5}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (4 x + 5 y^{2})$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y')}{\cos (4 x + 5 y^{2})} = \frac{5}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

Schritt 5.1.2.1.2

Dividiere $4 + 10 y y'$ durch $1$ .

$4 + 10 y y' = \frac{5}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Separiere Brüche.

$4 + 10 y y' = \frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

Schritt 5.1.3.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$ nach $\sec (4 x + 5 y^{2})$ um.

$4 + 10 y y' = \frac{5}{1} \sec (4 x + 5 y^{2})$

Schritt 5.1.3.3

Dividiere $5$ durch $1$ .

$4 + 10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2})$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2}) - 4$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2}) - 4$ durch $10 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2}) - 4$ durch $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $10$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sec (4 x + 5 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{5 (\sec (4 x + 5 y^{2}))}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10 y$ heraus.

$y' = \frac{5 (\sec (4 x + 5 y^{2}))}{5 (2 y)} + \frac{- 4}{10 y}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{5 (2 y)} + \frac{- 4}{10 y}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $10$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{2 (- 2)}{10 y}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 y$ heraus.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{2 (- 2)}{2 (5 y)}$

Schritt 5.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (5 y)}$

Schritt 5.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{- 2}{5 y}$

Schritt 5.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} - \frac{2}{5 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} - \frac{2}{5 y}$