Analysis Beispiele

$3 x^{2} + 2 x y + y^{2} = 2$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (3 x^{2} + 2 x y + y^{2}) = \frac{d}{d y} (2)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 2 x y + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x x' + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$6 x x' + 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$6 x x' + 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x x' + 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$6 x x' + 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$6 x x' + 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x x' + 2 (x + y x') + 2 y$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x x' + 2 x + 2 (y x') + 2 y$

Schritt 2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 x x' + 2 x + 2 y x' + 2 y$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$6 x x' + 2 y x' + 2 x + 2 y$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 x x' + 2 y x' + 2 x + 2 y = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x x' + 2 y x' + 2 y = - 2 x$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x x' + 2 y x' = - 2 x - 2 y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 x'$ aus $6 x x' + 2 y x'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2 x'$ aus $6 x x'$ heraus.

$2 x' (3 x) + 2 y x' = - 2 x - 2 y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2 x'$ aus $2 y x'$ heraus.

$2 x' (3 x) + 2 x' y = - 2 x - 2 y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2 x'$ aus $2 x' (3 x) + 2 x' y$ heraus.

$2 x' (3 x + y) = - 2 x - 2 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x' (3 x + y) = - 2 x - 2 y$ durch $2 (3 x + y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x' (3 x + y) = - 2 x - 2 y$ durch $2 (3 x + y)$ .

$\frac{2 x' (3 x + y)}{2 (3 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x' (3 x + y)}{2 (3 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (3 x + y)}{3 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x + y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (3 x + y)}{3 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$x' = \frac{2 (- x)}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{2 (- x)}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{- x}{3 x + y} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{2 (- y)}{2 (3 x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{2 (- y)}{2 (3 x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{- y}{3 x + y}$

Schritt 5.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} - \frac{y}{3 x + y}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{- x - y}{3 x + y}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$x' = \frac{- (x) - y}{3 x + y}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$x' = \frac{- (x) - (y)}{3 x + y}$

Schritt 5.3.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (y)$ heraus.

$x' = \frac{- (x + y)}{3 x + y}$

Schritt 5.3.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.2.5.1

Schreibe $- (x + y)$ als $- 1 (x + y)$ um.

$x' = \frac{- 1 (x + y)}{3 x + y}$

Schritt 5.3.3.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{x + y}{3 x + y}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x + y}{3 x + y}$