Analysis Beispiele

$\frac{1 + \ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{x}{1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{x - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x - (1 + \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 4.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $x$ aus $x - 2 (1 + \ln (x)) x$ heraus.

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Schritt 4.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Schritt 4.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Schritt 4.4.2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (1 + \ln (x)) x$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 (1 + \ln (x)))}{x^{4}}$

Schritt 4.4.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- 2 (1 + \ln (x)))$ heraus.

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x^{4}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 2 (1 + \ln (x))}{x^{3}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1 - 2 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Vereinfache $- 2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1 - 2 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{- 1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 - \ln (x^{2})$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (x^{2})$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - (\ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (\ln (x^{2}))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 + \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Schritt 6.3.4

Schreibe $- 1 (1 + \ln (x^{2}))$ als $- (1 + \ln (x^{2}))$ um.

$\frac{- (1 + \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Schritt 6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$