Analysis Beispiele

$(1 - x) y^{1} = y^{2}$

Schritt 1

Vereinfache.

$(1 - x) y = y^{2}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} ((1 - x) y) = \frac{d}{d y} (y^{2})$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = 1 - x$ und $g (y) = y$ .

$(1 - x) \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [1 - x]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 - x) \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [1 - x]$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $1 - x$ mit $1$ .

$1 - x + y \frac{d}{d y} [1 - x]$

Schritt 3.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$1 - x + y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x])$

Schritt 3.2.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 - x + y (0 + \frac{d}{d y} [- x])$

Schritt 3.2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- x]$ .

$1 - x + y \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 3.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$1 - x + y (- \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$1 - x + y (- x')$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$- y x' - x + 1$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- y x' - x + 1 = 2 y$

Schritt 6

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 6.1

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y x' + 1 = 2 y + x$

Schritt 6.1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y x' = 2 y + x - 1$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $- y x' = 2 y + x - 1$ durch $- y$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y x' = 2 y + x - 1$ durch $- y$ .

$\frac{- y x'}{- y} = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y x'}{y} = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x'}{y} = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Schritt 6.2.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Schritt 6.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{2}{- 1} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Schritt 6.2.3.1.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2}{- 1}$ .

$x' = - 1 \cdot 2 + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Schritt 6.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x' = - 2 + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Schritt 6.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - 2 - \frac{x}{y} + \frac{- 1}{- y}$

Schritt 6.2.3.1.4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x' = - 2 - \frac{x}{y} + \frac{1}{y}$

Schritt 7

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 2 - \frac{x}{y} + \frac{1}{y}$