Analysis Beispiele

$\frac{1}{x} - x^{2}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x} - x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{x} - x^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{x} - x^{2} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - x^{2} d x$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - x^{2} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C - \int x^{2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| x |) + C - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$\ln (| x |) - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{x} - x^{2}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) - \frac{1}{3} x^{3} + C$