Analysis Beispiele

$2 x^{\frac{1}{5}} + 3$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{\frac{1}{5}} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{1}{5}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.10

Bringe $x^{- \frac{4}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{2}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ als ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ um.

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5} \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Multipliziere $\frac{4}{5} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $- 1$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4 \cdot - 1}{5}}]$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4}{5}}]$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{5}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{4}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1})$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 5}{5}})$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $5$ von $- 4$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 9}{5}})$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{9}{5}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $x^{- \frac{9}{5}}$ und $\frac{4}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5})$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5}$ .

$- \frac{2 (x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4)}{5 \cdot 5}$

Schritt 2.11

Multipliziere.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{8 x^{- \frac{9}{5}}}{5 \cdot 5}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$- \frac{8 x^{- \frac{9}{5}}}{25}$

Schritt 2.11.3

Bringe $x^{- \frac{9}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8}{25 x^{\frac{9}{5}}}$