Analysis Beispiele

$e^{x} (1 + x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 1 + x$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x] + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [x] + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x} \cdot 1 + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$e^{x} + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + (1 + x) e^{x}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x} + 1 e^{x} + x e^{x}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$e^{x} + e^{x} + x e^{x}$

Schritt 4.2.2

Addiere $e^{x}$ und $e^{x}$ .

$2 e^{x} + x e^{x}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren in $e^{x} x + 2 e^{x}$ um.

$x e^{x} + 2 e^{x}$