Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x - 9}{4 x^{3} + 2 x + 7}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}}}{4 + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}}}{4 + \frac{x \cdot 2}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}}}{4 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}}}{4 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}}}{4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \cdot 0 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{5 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{5 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 6.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{4 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{4 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{4 + 2 \cdot 0 + 7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{4 + 2 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{4 + 2 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{4 + 2 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 10.1.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{4 + 2 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 0}$

Schritt 10.2.3

Addiere $4 + 0$ und $0$ .

$\frac{0}{4 + 0}$

Schritt 10.2.4

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{0}{4}$

Schritt 10.3

Dividiere $0$ durch $4$ .

$0$