Analysis Beispiele

$\frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$\int \frac{x^{3}}{(x + 1) (x + 1)} d x$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{x^{3}}{x (x + 1) + 1 (x + 1)} d x$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)} d x$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Schritt 5

Stelle $x$ und $1$ um.

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Schritt 6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{1} x + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Schritt 7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{1} x^{1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{x^{3}}{x^{1 + 1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1} d x$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + x + 1} d x$

Schritt 10

Addiere $x$ und $x$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 11

Dividiere $x^{3}$ durch $x^{2} + 2 x + 1$ .

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Schritt 11.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 11.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 11.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Schritt 11.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 2 x^{2} + x$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Schritt 11.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

Schritt 11.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Schritt 11.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Schritt 11.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$2 x^{2}$	-	$x$	+	$0$
							-	$2 x^{2}$	-	$4 x$	-	$2$

Schritt 11.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} - 4 x - 2$

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

Schritt 11.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$3 x$

$2$

Schritt 11.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int x - 2 + \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 12

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int - 2 d x + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 14

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 15

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 15.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 15.1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 15.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Schritt 15.1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 15.1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Schritt 15.1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{3 x + 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 15.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 15.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Schritt 15.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x + 2) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 15.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 15.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 x + 2) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 15.1.5.2

Dividiere $3 x + 2$ durch $1$ .

$3 x + 2 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 15.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 15.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x + 2 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 15.1.6.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 15.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 1)}^{2}$ und $x + 1$ .

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Schritt 15.1.6.2.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $(B) {(x + 1)}^{2}$ heraus.

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 15.1.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.1.6.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Schritt 15.1.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Schritt 15.1.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x + 2 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Schritt 15.1.6.2.2.4

Dividiere $B (x + 1)$ durch $1$ .

$3 x + 2 = A + B (x + 1)$

Schritt 15.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 2 = A + B x + B \cdot 1$

Schritt 15.1.6.4

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$3 x + 2 = A + B x + B$

Schritt 15.1.7

Stelle $A$ und $B x$ um.

$3 x + 2 = B x + A + B$

Schritt 15.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 15.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$3 = B$

Schritt 15.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$2 = A + B$

Schritt 15.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$3 = B$

$2 = A + B$

$3 = B$

$2 = A + B$

Schritt 15.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 15.3.1

Schreibe die Gleichung als $B = 3$ um.

$B = 3$

$2 = A + B$

Schritt 15.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 15.3.2.1

Ersetze alle $B$ in $2 = A + B$ durch $3$ .

$2 = A + 3$

$B = 3$

Schritt 15.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 15.3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$2 = A + 3$

$B = 3$

$2 = A + 3$

$B = 3$

$2 = A + 3$

$B = 3$

Schritt 15.3.3

Löse in $2 = A + 3$ nach $A$ auf.

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Schritt 15.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $A + 3 = 2$ um.

$A + 3 = 2$

$B = 3$

Schritt 15.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 15.3.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 2 - 3$

$B = 3$

Schritt 15.3.3.2.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$A = - 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$B = 3$

Schritt 15.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$A = - 1 B = 3$

Schritt 15.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = - 1, B = 3$

Schritt 15.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{3}{x + 1}$

Schritt 15.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{3}{x + 1} d x$

Schritt 16

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Schritt 17

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Schritt 18

Sei $u_{1} = x + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 18.1

Es sei $u_{1} = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 18.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 18.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 18.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 18.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 18.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 18.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Schritt 19

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 19.1

Bringe ${u_{1}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Schritt 19.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 19.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Schritt 19.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Schritt 20

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{- 2}$ nach $u_{1}$ gleich $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Schritt 21

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 22

Sei $u_{2} = x + 1$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 22.1

Es sei $u_{2} = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 22.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 22.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 22.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 22.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 22.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 22.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 23

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 24

Vereinfache.

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 25

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 25.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 25.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| x + 1 |) + C$

Schritt 26

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| x + 1 |) + C$