Analysis Beispiele

$\int 8 \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

Schritt 2

Sei $u_{1} = \sin (θ)$ . Dann ist $d u_{1} = \cos (θ) d θ$ , folglich $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{1} = d θ$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = \sin (θ)$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$8 \int \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 3

Faktorisiere $\cos^{4} (u_{1})$ aus.

$8 \int \cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$8 \int {\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$8 \int {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5

Schreibe $\cos^{2} (u_{1})$ in $1 - \sin^{2} (u_{1})$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$8 \int {(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Schritt 6.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$8 \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Schritt 7

Multipliziere ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ aus.

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Schritt 7.1

Schreibe ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ als $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ um.

$8 \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Schritt 7.5

Bewege ${u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Schritt 7.6

Bewege ${u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$8 \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 7.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 7.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 7.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 7.11

Mutltipliziere ${u_{2}}^{2}$ mit $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 7.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Schritt 7.13

Addiere $2$ und $2$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 7.14

Subtrahiere ${u_{2}}^{2}$ von $- {u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 7.15

Stelle $- 2 {u_{2}}^{2}$ und ${u_{2}}^{4}$ um.

$8 \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 7.16

Bewege $1$ .

$8 \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2}$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$8 (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{4}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Schritt 10

Da $- 2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2})$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache.

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Schritt 13.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${u_{2}}^{3}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

Schritt 13.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und ${u_{2}}^{5}$ .

$8 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

Schritt 13.2

Vereinfache.

$8 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2}) + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (u_{1})$ .

$8 (\frac{\sin^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \sin^{3} (u_{1})}{3} + \sin (u_{1})) + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (θ)$ .

$8 (\frac{\sin^{5} (\sin (θ))}{5} - \frac{2 \sin^{3} (\sin (θ))}{3} + \sin (\sin (θ))) + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$8 (\frac{1}{5} \sin^{5} (\sin (θ)) - \frac{2}{3} \sin^{3} (\sin (θ)) + \sin (\sin (θ))) + C$