Analysis Beispiele

$\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} x^{- 2} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} - x^{- 1}]_{2}^{t}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne $- x^{- 1}$ bei $t$ und $2$ .

$lim_{t \to \infty} (- t^{- 1}) + 2^{- 1}$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} - t^{- 1} + \frac{1}{2}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$- lim_{t \to \infty} t^{- 1} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Schritt 5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Schritt 5.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{t}$ $0$ .

$- 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{2}$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$0 + \frac{1}{2}$

Schritt 5.4.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$