Analysis Beispiele

$y = \ln (| \sin (x) |)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| \sin (x) |))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = | \sin (x) |$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $| \sin (x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $| \sin (x) |$ .

$\frac{1}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $| u_{2} |$ nach $u_{2}$ ist $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |}$ mit $\frac{1}{| \sin (x) |}$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) | | \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.4

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{1} (x) \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.6

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin (x)}{| {\sin (x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.9

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |} \cos (x)$

Schritt 3.10

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{| \sin^{2} (x) |}$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{| \sin^{2} (x) |}$

Schritt 3.11.2

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.11.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin (x)$ und $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 3.11.3.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\cos (x) \sin (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.11.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.11.3.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 3.11.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 3.11.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.11.4

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\cot (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \cot (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (x)$