Analysis Beispiele

$\log (1 + x^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log (x)$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\log (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} (2 x)$

Schritt 2.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)}$ .

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (10)} x$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (10)}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{(1 + x^{2}) \ln (10)}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x}{1 \ln (10) + x^{2} \ln (10)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\ln (10)$ mit $1$ .

$\frac{2 x}{\ln (10) + x^{2} \ln (10)}$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$