Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{2^{4 x}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2^{4 x}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $\frac{1}{2^{4 x}}$ als ${(2^{4 x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(2^{4 x})}^{- 1}]$

Schritt 3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{4 x})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [2^{4 x \cdot - 1}]$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [2^{- 4 x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 2^{x}$ und $g (x) = - 4 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 4 x$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \cdot 1)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) \cdot - 4$

Schritt 3.3.3.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $2^{- 4 x} \ln (2)$ .

$- 4 \cdot (2^{- 4 x} \ln (2))$

Schritt 3.3.3.3

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- (4 \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

Schritt 3.3.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- (2^{2} \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$