Analysis Beispiele

$y = \sqrt{2 p x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 p x}$ als ${(2 p x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(2 p x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 p x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(2 (p x))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2.2

Wende die Produktregel auf $2 (p x)$ an.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3

Da $2^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(p x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(p x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = p x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $p x$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [p x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [p x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $p x$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [p x])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(p x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{{(p x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [p x])$

Schritt 9

Bringe ${(p x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x])$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Schritt 11

Bringe $2^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Schritt 12

Multipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1

Bewege $2^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $2^{- \frac{1}{2}}$ mit $2$ .

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Schritt 12.2.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Schritt 12.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + 1} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Schritt 12.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Schritt 12.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Schritt 12.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Schritt 13

Da $p$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $p x$ nach $x$ gleich $p \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} (p \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 14

Kombiniere $p$ und $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 16

Mutltipliziere $\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Wende die Produktregel auf $p x$ an.

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} (p^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 17.2

Vereine die Terme

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Schritt 17.2.1

Bringe $p^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{p \cdot p^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2.2

Multipliziere $p$ mit $p^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 17.2.2.1

Mutltipliziere $p$ mit $p^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 17.2.2.1.1

Potenziere $p$ mit $1$ .

$\frac{p^{1} p^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{p^{1 - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{p^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{p^{\frac{2 - 1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{p^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$