Analysis Beispiele

$4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 \sqrt{x} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \sqrt{x} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 5 x + C + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 11

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 11.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 11.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 11.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int x^{- 2} d x$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 (- x^{- 1} + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache.

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 5 x + 3 (- x^{- 1}) + C$

Schritt 13.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$

Schritt 13.2.2

Stelle die Terme um.

$\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$