Analysis Beispiele

$y = \frac{(4 x + 2)}{5 x}$

Schritt 1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x + 2}{5 x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{4 x + 2}{x}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{4 x + 2}{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 4 x + 2$ und $g (x) = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [4 x + 2] - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 + 0) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \cdot 4 - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 \cdot x - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 x - (4 x + 2) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 x - (4 x + 2)}{x^{2}}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{4 x - (4 x + 2)}{x^{2}}$ .

$\frac{4 x - (4 x + 2)}{5 x^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x - (4 x) - 1 \cdot 2}{5 x^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x - 4 x - 1 \cdot 2}{5 x^{2}}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4 x - 4 x - 2}{5 x^{2}}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$\frac{0 - 2}{5 x^{2}}$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{- 2}{5 x^{2}}$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{5 x^{2}}$