Analysis Beispiele

$3 y^{3} + x y - 6 x + 3 = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (3 y^{3} + x y - 6 x + 3) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 y^{3} + x y - 6 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$9 y^{2} y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$9 y^{2} y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 y^{2} y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$9 y^{2} y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 y^{2} y' + x y' + y - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 y^{2} y' + x y' + y - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$9 y^{2} y' + x y' + y - 6 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 y^{2} y' + x y' + y - 6 + 0$

Schritt 2.6

Addiere $9 y^{2} y' + x y' + y - 6$ und $0$ .

$9 y^{2} y' + x y' + y - 6$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$9 y^{2} y' + x y' + y - 6 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 y^{2} y' + x y' - 6 = - y$

Schritt 5.1.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 y^{2} y' + x y' = - y + 6$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $9 y^{2} y' + x y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $9 y^{2} y'$ heraus.

$y' (9 y^{2}) + x (y') = - y + 6$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' (9 y^{2}) + y' (x) = - y + 6$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (9 y^{2}) + y' (x)$ heraus.

$y' (9 y^{2} + x) = - y + 6$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (9 y^{2} + x) = - y + 6$ durch $9 y^{2} + x$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (9 y^{2} + x) = - y + 6$ durch $9 y^{2} + x$ .

$\frac{y' (9 y^{2} + x)}{9 y^{2} + x} = \frac{- y}{9 y^{2} + x} + \frac{6}{9 y^{2} + x}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9 y^{2} + x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (9 y^{2} + x)}{9 y^{2} + x} = \frac{- y}{9 y^{2} + x} + \frac{6}{9 y^{2} + x}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y}{9 y^{2} + x} + \frac{6}{9 y^{2} + x}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y + 6}{9 y^{2} + x}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (y) + 6}{9 y^{2} + x}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$y' = \frac{- (y) - 1 (- 6)}{9 y^{2} + x}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 6)$ heraus.

$y' = \frac{- (y - 6)}{9 y^{2} + x}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.5.1

Schreibe $- (y - 6)$ als $- 1 (y - 6)$ um.

$y' = \frac{- 1 (y - 6)}{9 y^{2} + x}$

Schritt 5.3.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y - 6}{9 y^{2} + x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 6}{9 y^{2} + x}$